O ženevském zlatu, největším úspěchu v historii českého basketbalu, rozhodl tehdy dvacetiletý Mrázek vítězným košem v závěrečných sekundách finálového utkání s favorizovanou Itálií. V roce 1951 pak byl vyhlášen nejlepším hráčem šampionátu ve Francii. Hrál i na olympijských turnajích v Londýně 1948 a v Helsinkách 1952.
Mrázek se posléze dal na trenérskou dráhu a i jako kouč sklízel úspěchy. V roce 1960 dovedl reprezentaci na OH v Římě k pátému místu, se Zbrojovkou Brno dvakrát postoupil do finále Poháru mistrů evropských zemí. Mistrem republiky byl šestkrát jako hráč a stejný počet titulů získal i jako trenér.
Sportovní kariéru začal v roce 1932 jako gymnasta. Na zamrzlém sokolském cvičišti bruslil, jezdil také na kole, úspěšně plaval a vesloval, hrál fotbal. K basketbalu se dostal náhodou za druhé světové války, když byl na soustředění s plaveckým klubem a vedle pořádal kemp i brněnský basketbalový svaz. "Každý večer jsem se chodil dívat na jejich tréninky a jednou mi řekli: Jsi vysoký, pojď si s námi zahrát," vzpomínal Mrázek na začátky pod koši.
S basketbalem přitom začínal opravdu pozdě, v 19 letech, měl ale přirozený talent a už po roce poprvé oblékl reprezentační dres. "V té době to nebylo nic neobvyklého, protože všichni dělali všechno. Bylo úplně běžné, že hokejisté v létě hráli tenis. Sport za okupace byl hybnou silou mladých, protože nebylo co jiného dělat. V tomto prostředí se nám žilo v uvozovkách svobodně," vyprávěl před lety hráč, jehož koš rozhodl o dosud největším úspěchu čs. i českého mužského basketbalu.
Čechoslováci si tehdy na šampionát, pouhý rok po válce, jako talisman vezli prsť z popraviště z Pankráce. "Krabičku, která byla zabalená v národní vlajce, jsem opatroval jako benjamínek výběru. Před každým zápasem jsme na ni přísahali," svěřil se Mrázek, který finálové utkání s favorizovanou Itálii rozhodl pár vteřin před koncem. Nikdy se ale nepovažoval za hvězdu týmu. "Nezajímaly mě osobní statistiky nebo úspěchy. Vůbec nevím, kolik jsem dal za kariéru košů," uvedl.
Jako hráč startoval Ivo Mrázek také na dvou olympijských turnajích. v Londýně 1948 byl členem týmu, který skončil sedmý, o čtyři roky později v Helsinkách dosáhli čs. hráči na devátou příčku. V druhé polovině 50. let se Mrázek začal věnovat trénování, do roku 1958 ještě jako hrající trenér Zbrojovky Brno. Krátce koučoval i reprezentaci, kterou na olympiádě v Římě 1960 přivedl k historickému pátému místu. Mrázkovy největší úspěchy jsou ale spojeny se Zbrojovkou.
Brněnský tým přivedl v letech 1964 a 1968 dvakrát až do finále Poháru evropských mistrů a úspěšná vystoupení po celé Evropě ve druhé polovině 60. let korunoval Ivo Mrázek se Zbrojovkou v roce 1969 druhým místem na Interkontinentálním poháru ve Spojených státech. "V šedesátých letech byl v Brně basketbal na evropské úrovni, ale chyběla pořádná tělocvična. Na naše zápasy chodily tisíce lidí, kteří se beznadějně mačkali na sebe," popisoval s hrdostí slavnou éru.
S trénováním skončil v roce 1990, ani poté se ale na Mrázka nezapomnělo. Návrhy na udělení státního vyznamenání sice neuspěly, umístil se ale na třetím místě v anketě o Českého basketbalistu století a dostal ocenění od brněnské radnice i Jihomoravského kraje. Loni pak přišel do kin film Zlatý podraz režiséra Radima Špačka, který se inspiroval osudy reprezentace z konce 40. let a do značné míry vycházel z Mrázkova vyprávění v knize Nebáli se své odvahy.
