O Spasském se často říkalo, že byl velice talentovaný. K tomu, aby jeho skvělé výsledky byly trvalého charakteru, mu ale chyběla vůle a pracovitost. Jeho síla spočívala především ve všestrannosti - dokázal nebezpečně zaútočit, trpělivě se bránit, hrát koncovky i strategicky kombinovat.

Fischer kdysi napsal, že "Spasskij sedí u šachovnice s nehybnou tváří, ať dává mat, nebo je před matem. Dokáže táhnout tak záhadně, že si nejste jisti, zda jde o chybu, nebo o fantastickou oběť."

Desátého šachového mistra světa Spasského pravděpodobně nejvíce proslavil duel, který nevyhrál. V roce 1972 podlehl v "zápase století" Američanovi Robertu Fischerovi. Tato série partií na Islandu nebyla jen utkáním o titul světového šampiona, ale také zápasem mezi komunistickou ideologií tehdejšího Sovětského svazu a demokratickým světem reprezentovaným USA.

"Teď už na to utkání nemám žádné negativní vzpomínky," uvedl později Spasskij, který tehdy prohrál sedm partií, tři vyhrál a jedenáctkrát remizoval.

Po porážce od Fischera měl Spasskij v SSSR problémy. Tehdejší sovětské vedení mu nemohlo zapomenout, že v roce 1968 otevřeně odsoudil vstup vojsk do Československa. A přičetli mu i další "hříchy": Spasskij několikrát veřejně ocenil Fischerův gentlemanský přístup ke hře a po zápase s ním neodevzdal prémii (více než 100.000 dolarů). V roce 1973 ale ještě opanoval sovětské šachové mistrovství, o rok později ale v turnaji kandidátů vypadl s pozdějším mistrem světa Anatolijem Karpovem.

Spasskij se ale nemohl účastnit turnajů v zahraničí, a proto si v roce 1976 vzal za svoji třetí manželku mladou Francouzku ruského původu Marinu a opustil natrvalo Sovětský svaz. Pak žil ve Francii, kterou poté reprezentoval na mnoha šachových olympiádách.

Silným hráčem zůstal asi do poloviny 80. let, šachy ale hrál málo a nejraději rychle remizoval. O poznání raději se účastnil turnajů v kombinaci s tenisem a hře na čtyřiašedesáti polích se věnoval jako expert či trenér. Výjimkou v jeho šachových aktivitách byl "odvetný" zápas s Fischerem v roce 1992 v Jugoslávii. Tehdejší 106. šachista světa ovšem jasně prohrál.

V roce 2012 se vrátil z Francie do Ruska.

V Československu a ČR byl Spasskij několikrát: například hrál v roce 1962 v Mariánských Lázních, v létě 1995 nastoupil v Praze v souboji šachových veteránů proti ženám, v lednu 2006 pak hrál v Karlových Varech simultánku s 22 protivníky, většinou manažery velkých firem, a také dvě partie šachu proti tehdejší české ženské jedničce Janě Jackové. O čtyři roky později s dalším exmistrem světa Anatolijem Karpovem otevřel v pražské Galerii DOX výstavu Umění šachu.

Rodák z Petrohradu (30. ledna 1937) se šachy naučil v pěti letech na Urale, kam rodina odešla z nacisty obléhaného města. Poprvé na sebe přitáhl pozornost v deseti letech, kdy při simultánce porazil pozdějšího mistra světa Michaila Botvinnika, a v roce 1953, kdy se v šestnácti letech prodral do špičky silně obsazeného turnaje v Bukurešti. V osmnácti se stal juniorským mistrem světa a tehdy nejmladších šachovým velmistrem.

V dalších letech se mu ale v silné konkurenci sovětských šachistů nedařilo probojovat se mezi elitu s právem hrát o šachový trůn. Začátkem 60. let proto Spasskij změnil trenéra, místo zastánce útočné hry Alexandra Toluše přešel k tichému stratégovi Igoru Bondarevskému, což se projevilo již v roce 1964, kdy se probojoval do turnaje kandidátů. Spasského styl se prohloubil a ukáznil a stal se více univerzálním. V roce 1961 se stal poprvé mistrem Sovětského svazu.

V roce 1965 porazil v Tbilisi exmistra světa Michaila Tala (známého útočníka udolal taktikou přechodu ke klidným, strategickým pozicím) a o rok později se utkal poprvé o titul mistra světa s Tigranem Petrosjanem. Tehdy ještě těsně prohrál (tři výhry, čtyři prohry), porážku "železnému Tigranovi" ale oplatil v roce 1969, kdy se stal desátým mistrem světa.

Spasskij dvakrát vyhrál mistrovství Sovětského svazu v šachu dvakrát (1961, 1973) a dvakrát prohrál ve finále (1956, 1963). Sedmkrát byl kandidátem na mistra světa v šachu (1956, 1965, 1968, 1974, 1977, 1980 a 1985). Kromě kandidátských vítězství v letech 1965 a 1968 se Spasskij dostal do semifinále v roce 1974 a do finále v roce 1977.

Spasského hra též inspirovala filmaře. Ve třetí sérii filmů o Jamesi Bondovi Srdečné pozdravy z Ruska (1963) byla scéna šachového zápasu natočena podle skutečného utkání Spasského s Davidem Bronštejnem z roku 1960, které Spasskij vyhrál.

Byl třikrát ženatý.